《物理学中的非线性方程》课程以广泛存在于物理学各个前沿领域的非线性方程为主要研究对象，以近代数学分析方法为基础，深入研究物理学中的各类非线性方程的求解问题，侧重于讲授非线性方程的基础知识和基本求解方法与数学理论，是西北师范大学物理与电子工程学院物理学一级学科理论物理专业和等离子体物理专业硕士研究生的一门专业必修核心课程。课程内容共九章，涵盖：物理学中的非线性方程、非线性方程的定性分析、经典非线性方程的求解、试探函数法、摄动方法、行波解法、双曲函数展开法、Jacobi 椭圆函数展开法、相似变换和自相似解、特殊变换法和散射反演法。通过本课程的学习，旨在使学生系统掌握非线性方程求解问题的基础理论知识和基本计算方法；培养学生运用近代分析方法的相关数学理论知识分析问题、解决问题的能力；提高学生的综合数学素质，为后继课程学习和未来的专业工作奠定扎实的数学理论基础。
Overview
Syllabus
- 第〇章 绪论
- 第一章 物理学中的非线性方程
- § 1.1 非线性常微分方程
- § 1.2 非线性偏微分方程
- § 1.3 非线性差分方程
- § 1.4 函数方程
- 第二章 非线性方程的定性分析
- § 2.0 微分方程的定性与稳定性理论概述
- § 2.1 Logistic方程
- § 2.2 Landau方程
- § 2.3 Lotka-Volterra方程
- § 2.4 无阻尼的单摆运动方程
- §2.5 有阻尼的单摆运动方程
- § 2.6 van der Pol方程
- § 2.7 Duffing方程
- § 2.8 Euler方程
- § 2.9 Lorenz方程
- 第三章 经典的非线性方程的求解
- § 3.1 等尺度方程和尺度不变方程
- § 3.2 经典的一阶非线性方程
- § 3.3 椭圆函数和椭圆方程
- § 3.4 经典的二阶非线性方程
- § 3.5 Painleve方程
- § 3.6 Euler方程组
- § 3.7 差分方程
- § 3.8 函数方程
- 第四章 试探函数法
- § 4.1 幂试探函数
- § 4.2 三角试探函数
- § 4.3 指数试探函数
- § 4.4 微扰法
- § 4.5 Adomian分解法
- 第五章 摄动法
- § 5.0 渐近级数
- § 5.1 正则摄动法
- § 5.2 多尺度方法
- § 5.3 PLK（Poincare-Lighthill-Kuo）方法
- § 5.4 平均值方法
- § 5.5 KBM（Krylov-Bogoliubov-Mitropolski）方法
- § 5.6 约化摄动法
- § 5.7 幂级数展开法
- 第六章 行波解、双曲函数和Jacobi椭圆函数展开法
- § 6.1 行波解
- § 6.2 双曲函数展开法
- § 6.3 Jacobi椭圆函数展开法
- § 6.4 守恒律
- § 6.5 扩展的行波解和Jacobi椭圆函数展开法
- § 6.6 Lamé函数和多级行波解
- 第七章 相似变换和自相似解
- § 7.1 活动奇点和Painleve性质
- § 7.2 相似变换和自相似解
- § 7.3 Burgers方程
- § 7.4 KdV方程
- § 7.5 mKdV方程
- § 7.6 正弦-Gordon方程
- § 7.7 浅水方程组
- 第八章 特殊变换法
- § 8.1 特征线方法
- § 8.2 因变量或自变量变换
- § 8.3 Cole-Hopf变换
- § 8.4 推广的Cole-Hopf变换
- § 8.5 WTC（Weiss-Tabor-Carnevale）方法
- § 8.6 Hirota方法
- 第九章 散射反演法
- § 9.1 GGKM（Gardner-Greene-Kruskal-Miura）变换
- § 9.2 Schrödinger方程的势场的孤立子解
- § 9.3 散射反演法
- § 9.4 KdV方程的单孤立子解
- § 9.5 KdV方程的双孤立子解
- 期末考试总题库
- 参考教材
- 推荐课外书籍
- 教学大纲
Taught by
Mai-mai Lin
