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XuetangX

复变函数

via XuetangX

Overview

这门课会讲什么?


生活中,4G网络升级、3D打印进步及3D电影发展等维数的升级给我们带来了便捷与震撼!


数学里,当函数的定义域从直线(实数)扩充到平面(复数)时,复变函数将会产生哪些深刻变化与震撼结果?


本课程将带您一起开启复变函数之旅,认识本质变革、感受震撼结果,共同体验复变之美、感受数学之理。在本课程中,你能品味到最漂亮数学公式的内涵与形式之美;欣赏到的三角函数与双曲函数的对称与和谐之美;感受到数学深邃思想与深刻结论的严谨与简洁之美;体验到分析、代数与几何等学科的交融与一致之美。在本课程中,你将重塑对函数的认识(如指数的周期性、正余弦函数的无界性、反函数的多值性解析函数的无穷次可微性等),深化对收敛半径及级数的理解,获取解决如广义实积分计算等复杂问题的有力工具!


本课程又称为“复分析”,研究对象复变函数,主要是解析函数。主要研究内容包括复变函数的微分、解析函数的Cauchy积分理论、Weierstrass级数理论和 Riemann几何变换理论及其应用。复变函数是实变函数在复数域内的推广和发展,二者有许多相似与相异之处,本课程在巩固旧知的同时,重点介绍差异性,突出思想方法,强调复数域上特有的性质与结果。


我们一起开启“复变函数”的学习、体验与欣赏之旅吧!


你将收获什么?


1.初步掌握复变函数的基本理论、方法和应用,为相关后继课程的学习、工程应用和进一步扩大数学知识面奠定必要的基础;


2.认识一元实、复变函数的一致性与深刻差异性,欣赏复变之美、感受数学之理,具体体验空间升一维度带来的震撼;


3.深化对数学分析(高等数学)微分、积分、级数等内容的理解,获得研究高维空间的经验,提升探索发现的兴趣。


适合什么人学习?


数学与应用数学专业学生;


物理、信息、计算机等相关专业学生;


对数学感兴趣的学习者。


Syllabus

  • 第1章 复数与复变函数
    • 1.1 复数
    • 1.2 复平面上的点集
    • 1.3 复变函数
    • 1.4 复球面与无穷远点
    • 1.5 本章导学
    • 1.6 小结与测试
  • 第2章 解析函数
    • 2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼方程
    • 2.2 初等解析函数
    • 2.3 初等多值函数
    • 2.4 本章导学
    • 2.5 小结与测试
  • 第3章 复变函数的积分
    • 3.1复积分的概念及其简单性质
    • 3.2柯西积分定理
    • 3.3柯西积分公式及其推论
    • 3.4解析函数与调和函数的关系
    • 3.5本章导学
    • 3.6小结与测试
  • 第4章 解析函数的幂级数表示法
    • 4.1复级数的基本性质
    • 4.2幂级数
    • 4.3解析函数的泰勒展式
    • 4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理
    • 4.5本章导学
    • 4.6小结与测试
  • 第5章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
    • 5.1 解析函数的洛朗展式
    • 5.2 解析函数的孤立奇点
    • 5.3 解析函数在无穷远点的性质
    • 5.4 整函数与亚纯函数的概念
    • 5.5 本章导学
    • 5.6 小结与测试
  • 第6章 留数理论及其应用
    • 6.1 留数
    • 6.2 用留数定理计算实积分
    • 6.3 幅角定理及其应用
    • 6.4 本章导学
    • 6.5 小结与测试
  • 第7章 *共形映射
    • 7.1 解析变换的特性
    • 7.2 分式线性变换
    • 7.3 *某些初等函数所构成的共形映射
    • 7.4 本章导学
    • 7.5 智慧课堂参赛课程
    • 7.5.1 附件3 课题教学设计

Taught by

Fuyang Normal University

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