线性代数是现代数学的基础之一，在物理、计算机图形学、工程、经济学等自然科学和社会科学各领域具有广泛和深刻的应用，同时线性代数是高等学校理工科各专业的一门重要基础课。本课程做为清华大学非数学理工科各专业学生重要的必修课程，介绍求解线性方程组、矩阵理论、向量空间和线性变换等线性代数的基本概念和基本理论，强调线性代数的理论与应用的结合。作为线性代数(1)的后继课程，线性代数（2）继续结合应用介绍正定矩阵、相似矩阵（若当标准形）、奇异值分解、线性变换、广义逆、复矩阵以及线性代数在工程、几何、经济问题中的应用等。通过本课程的学习，培养学生的数学逻辑思维和抽象思维能力，使学生具备线性代数的基本理论知识，熟练掌握求解线性方程组和矩阵运算、矩阵分解的基本方法，为后继的学习和提高奠定数学基础。
Overview
Syllabus
- 第一讲：正定矩阵
- 1.1 实对称矩阵A正定的充要条件
- 1.2 典型例题
- 1.3 半正定矩阵及其判别条件
- 1.4 二次型
- 1.5* 有心二次曲线(central conic)
- 1.6* 三维空间中的二次曲面-6类基本的二次曲面
- 1.7 二次型的分类
- 1.8 矩阵的合同
- 1.9* 惯性定理的证明
- 1.10 惯性定理的应用 —— 实对称矩阵的特征值与主元符号
- 1.11* 正（负）定矩阵在函数极值问题中的应用
- 第二讲：相似矩阵
- 2.1 引言
- 2.2 相似矩阵的性质
- 2.3 Jordan标准形
- 2.4 定理的证明
- 2.5 Jordan标准形的应用
- 第三讲：奇异值分解
- 3.1 引言
- 3.2 奇异值分解(Singular Value Decomposition)
- 3.3 例题
- 3.4 奇异值分解的应用
- 第四讲：线性变换 I
- 4.1 线性变换的定义和性质
- 4.2 线性变换的运算
- 4.3 线性变换的矩阵表示
- 4.4 线性变换与矩阵之间的关系
- 第五讲：线性变换 II
- 5.1 恒同变换与基变换
- 5.2 图像压缩——基变换的应用
- 5.3 线性变换在不同基下的矩阵
- 5.4 矩阵分解与基变换
- 5.5 线性变换的核与像
- 5.6 不变子空间
- 5.7* 幂零变换
- 5.8* Jordan标准形
- 第六讲：伪逆
- 6.1 伪逆
- 6.2 Moore – Penrose 伪逆
- 6.3 最小二乘法
- 第七讲：工程中的矩阵
- 7.1 简介
- 7.2 弹簧模型
- 7.3 变量的线性关系
- 7.4 刚度矩阵
- 7.5 从离散到连续
- 第八讲：图与网络
- 8.1 简介
- 8.2 图和矩阵
- 8.3 网络和加权Laplacian矩阵
- 8.4 关联矩阵的四个基本子空间
- 8.5 注记
- 第九讲：Markov矩阵和正矩阵
- 9.1 问题引入
- 9.2 Markov矩阵
- 9.3 正Markov矩阵
- 9.4 正矩阵
- 第十讲：Fourier级数
- 10.1 引言
- 10.2 内积空间
- 10.3 傅里叶级数
- 10.4 投影
- 10.5 关于Fourier变换的注记
- 第十一讲：计算机图像
- 11.1 引言
- 11.2 平移
- 11.3 伸缩
- 11.4 旋转
- 11.5 投影和反射
- 第十二讲：复数与复矩阵
- 12.1 引言
- 12.2 复矩阵
- 12.3 复正规阵
- 12.4 离散Fourier变换
- 12.5 快速Fourier变换
- 结课寄语
- 结课寄语
- 期末考试
Taught by
Hui Ma, Fan Xu, and Yanhui Qu
