Variable compleja para métodos matemáticos. Parte 2

• Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
• Los problemas de reversibilidad en funciones no inyectivas
• La función exponencial compleja, tanto la deducción de su fórmula como los mapeos que produce
• Deducción de la fórmula para la función rama principal del logaritmo complejo "Log(z)"
• Deducción de la fórmula para la función logaritmo multivaluado complejo "log(z)"
• Función valor principal del logaritmo
• Mapeos y transformaciones de regiones del plano complejo bajo los distintos tipos de función logaritmo
• Ramas y cortes de ramificación en los distintos tipos de función logaritmo
• Aplicación de las funciones logaritmo a regiones nacidas de aplicaciones de raíces complejas
• Trasformaciones de Möbius en general y en detalle.
• Mapeos de regiones tras aplicar transformaciones de Möbius
• La transformada inversa de Möbius
• Diseño de aplicaciones de Möbius para obtener un cierto conjunto partiendo de una región determinada del plano complejo
• La función inversa y su poder para transformar círculos y rectas
• Definicion de la derivada compleja como un límite
• Derivación de funciones usando la idea del límite
• Implicaciones y detalles sobre la continuidad de funciones complejas
• Deducción de las fórmulas de Cauchy-Riemann en coordenadas cartesianas y polares
• Aplicaciones de las fórmulas de Cauchy-Riemann
• Derivación de funciones complejas usando Cauchy-Riemann
• Funciones holomorfas, derivables, analíticas y enteras
• Deducción de las fórmulas de las funciones armónicas y armónicas conjugadas
• Aplicaciones de las funciones armónicas y armónicas conjugadas
• Resolución de muchos ejercicios de tipo examen
• La historia del número i

En el curso de "Variable Compleja para Métodos Matemáticos" (compuesto de dos partes; la 1 y la 2) encontrarás el temario de variable compleja que habitualmente se requiere para aprobarelprimer curso académico en los grados de cualquier ingeniería, física ymatemáticas.
El curso total intercala 70 vídeos de teoría con 83vídeos de resolucióndeejercicios paso a pasoy 21 vídeos de apéndices. Gran parte de los ejercicios propuestos son de nivel similar ysuperior a los que puedesencontrar en cualquier examen deun grado oficial. Se incluye un pdf con todos los enunciados y respuestas para facilitar elrepaso delos ejercicios.

El cursoofrece no sólounpunto de vista analítico de los conceptos, sino que lo complementa con unogeométrico. Con ello se adquiereuna idea más sólida de los temas tratados. Éste es uno de sus puntos fuertes, ya que a día de hoy no es una información fácil de encontrar ni en libros de texto universitariosni en internet

En las lecciones y ejercicios se explicanno sólo los razonamientos correctos, sino también aquellos que los estudiantes suelen utilizar de forma errónea. En esta asignatura es habitual creer que se ha entendido algo cuando en verdad no es así. Hacer hincapié en los errores que se suelen cometer es una buena manera de chequear lo que se ha entendido.
Los contenidos se presentan en los siguientes bloques:

PARTE 1

1- Números complejos. Operaciones elementales y propiedades:aquí veremos todas las maneras de escribir un número complejo. Aprenderemosa calcular módulos y argumentos. Estudiaremos la diferencia entre argumento y argumento principal y comenzaremos a realizar algunas operaciones sencillas.
Demostraremos todos los pasos por sencillos que sean para ir adquiriendo soltura a la hora de expresar nuestro pensamiento de manera matemática.Para ellocomenzaremos a introducir el punto de vista geométrico, que nos acompañará hasta el final del curso.
Aprenderemos a utilizar herramientas poderosas de esta asignatura que bien podremos usar en otras, como las aplicaciones de la fórmula de De Moivre.

2- Raíces enésimas. Ramas. Cortes de ramificación:introduciremos esta parte deduciendo una fórmula para el cálculo de las raíces enésimas de un número complejo. Atenderemos a la geometría de los resultados a partir de múltiples ejercicios.
Después comprenderemos qué es una función multivaluada y discutiremoslas posibles maneras que hay para representar las funciones complejas, ya que éstas poseen 4 dimensiones y éso dificulta un poco su representación.
Ello nos dará paso al estudio de los conceptos de corte de ramificación y rama, para los cuales tendremos que asimilar las ideas de continuidad y límite en variable compleja.
Luego volverá a haber una buena cantidad de ejercicios. Ésta será una sección densa de la que aprender muchísimo.Aquí será la primera vez que encontremos ejercicios de un nivel más complicado al presentado en muchos exámenes, lo cual nos ayudará bastante para el día que nos examinemos.

3- Módulos, conjugados, desigualdades y regiones:la mayoría de los ejercicios de examen de regiones tienen que ver con comprender muy bien las propiedades de los módulos, conjugados y desigualdades triangulares, así que ésto será lo primero en lo que profundizaremos. Después de ello estaremos en condiciones de hablar de puntos interiores, exteriores, frontera, de acumulación, conjuntos abiertos, cerrados, ni cerrados ni abiertos o cerrados y abiertos simultáneamente, conjuntos conexos, acotados etc. Como siempre, habrá ejercicios. Podréis comprobar que los propuestos en este bloque son muy sencillos. Los ejercicios más complejos sobre regiones se encontrarán más adelante relacionados con las funciones exponenciales, logarítmicas y transformaciones de Möbius, ya que es como se suele evaluar el conocimiento sobre este tema en los exámenes.

PARTE 2

1- La función exponencial compleja:esta sección empezará explicando conceptos que nos serán de mucha ayuda a partir de este punto. Hablaremos de qué es una función biyectiva, inyectiva,sobreyectiva y del problema de la reversibilidad en funciones no inyectivas. Después deduciremos una fórmula para la función exponencial y veremos su representación geométrica.
Los ejercicios propuestos serán de nivel examen ysuperior. A partir de este momento las representaciones gráficas se convertirán en una de nuestras herramientas más preciadas. Veremos cómo un ejercicio que se muestra bastante complicado bajo un enfoque analítico puede convertirse en una pregunta relativamente fácil de contestar utilizando un punto de vista gráfico.

2- La función logaritmo complejo:este bloque será el más complejo. Los logaritmos integrarán todo lo referente a las ramas y al corte de ramificación estudiado ya en el bloque de las raíces y tendremos que recordad el problema de la reversibilidad en funciones no inyectivas. Deduciremos las fórmulas para la función rama principal del logaritmo "Log(z)" y para la función logaritmo multivaluada "log(z)". Veremos como expresar una determinada rama y lacompararemos con la manera en que describíamos la rama deuna raíz enésima. Entraremos en detalle en qué es el factor "n" del logaritmo multivaluado y finalmente hallaremos una fórmula para la función " Valor Principal del logaritmo" expresada también como"Log(z) ".
Los ejercicios propuestos tendrán nivel de examen y superior. Algunos de ellos serán particularmente completos.Para realizarlos necesitaremos aplicar todo lo que sabemos hasta este punto, pues habráque graficar ramas de la función logaritmo multivaluado de una región inicial, que a su vez será alguna rama de una raíz enésima de alguna porción del plano complejo, así como calcular límites. De aquí aprenderemos mucho no sólo de logaritmos complejos, sino de cómo utilizar el lenguaje matemático para expresar ideas.

3- Transformaciones de Möbius y el infinito en variable compleja:esta sección supondrá una cierta bajada de intensidad respecto a la anterior pues su nivel de dificultad es, en comparación, bajo.
Comenzaremos con un enfoque superficial de qué son las transformaciones de Möbius, con intención de aprender lo básico para poder enfrentarnos a ejercicios de examen. Luego entraremos más en detalle y miraremos a la transformación de Möbius como un conjunto de transformaciones más simples. Éso nos llevará a prestarle especial atención a la función inversa (1/z). Mediante ejercicios podremos comprobar su poder para transformar rectas en círculos etc. En este último punto participarán fuertemente nuestros conocimientos sobre las propiedades del módulo y del conjugado y los usaremos para realizar cálculos realmente curiosos.Después demostraremos por qué la restricción que caracteriza a toda transformación de Möbius ha de existir y ser como es. Por último, deduciremos una fórmula para construir la transformada inversa de Möbius.
Los ejercicios que se realizarán tras la teoría serán de nivel examen y superior. Aprenderemos a encontrar una región resultado de aplicar una transformación de Möbius a un conjunto inicial de números complejos. Si el enunciado nos ofrece la región producto de una transformación de Möbius, veremos cómo hallar la región inicial mediante caminos distintos de manera que uno de ellos se basará en la utilización de la transformada inversa de Möbius. También tendremos que construir una transformación de Möbius a la carta y mezclaremos logaritmos con transformaciones de Möbius. Durante todo este camino aprenderemos a interpretar el infinito en variable compleja.

4- Más sobre límites, continuidad y cálculo diferencial. Cauchy-Riemann:aunque llegados a este punto ya sabremos qué es un límiteen variable compleja,profundizaremos algo más al utilizarlo como herramienta clave para derivar funciones complejas. Relacionaremos continuidad y derivabilidad. Aprenderemos a calcularderivadas con diferentes herramientas. Primeramente usando la definición de límite y luego sin ella.
Los ejercicios propuestos son de nivel examen e inferior. Serán muy útiles para reforzar nuestros conocimientos sobre las propiedades del módulo y el conjugado y ver cómo aplicarlo para resolver límites en variable compleja

5- Funciones derivables, analíticas, holomorfas, armónicas y armónicas conjugadas:estudiaremos y veremos las diferencias entre las funciones mencionadas. Clasificaremos ejemplos en diferentes tipos de función. Los ejercicios serán de nivel examen y superior. A través de ellos profundizaremos algo más en las ecuaciones de Cauchy-Riemann, encontrando una expresión en forma polar. Atenderemos a errores de entendimiento que los alumnos suelen cometer al estudiarel teorema que relaciona funciones armónicas conjugadas y derivabilidad. Aprenderemos a construir funciones analíticas según las condiciones de un enunciado etc.

6- Apéndices:aquí se encontraránvídeoscomplementarios al curso y se podrán ver a gusto del estudiante.
Se expondrá una demostración paso a paso de las ecuaciones de Cauchy-Riemann así como de las fórmulas para derivar sin utilizar la definición de límite. Lo mismo se harápara la fórmula de Euler etc
Luego habrá un conjunto de vídeos cuya temática suele estar fuera del temario exigido en un grado, ya que hablaremos de cómo apareció la unidad imaginaria. No obstante, a lo largo de esos vídeos se podrán aprender cosas muy interesantes que tal vez nunca se tocaron en el instituto. Así, aparte de interés histórico, se expondránformas de enfocar las matemáticas a través de las batallas a las que los matemáticos de aquel momento se enfrentaron, lo cualsin duda es algo muyútilpara cualquier asignatura de una carrera de ciencias.