Численные методы для инженеров

The Hong Kong University of Science and Technology via Coursera

This course may be unavailable.

Overview

Этот курс охватывает наиболее важные численные методы, которые должен знать инженер. Мы выводим базовые алгоритмы в области поиска корней, матричной алгебры, интегрирования и интерполяции, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Мы узнаем, как использовать MATLAB для решения численных задач. Доступ к MATLAB online и MATLAB grader предоставляется всем записавшимся студентам.

Мы предполагаем, что студенты уже знакомы с основами матричной алгебры, дифференциальных уравнений и векторного исчисления. Студенты должны уже изучать язык программирования и быть готовы изучать MATLAB.

Курс содержит 74 коротких видео-лекции и демонстрации MATLAB. После каждой лекции или демонстрации нужно решать проблемы или писать программы. Курс рассчитан на шесть недель, и в конце каждой недели проводится оценочный тест и более длительный программный проект.

Загрузите конспекты лекций:
http://www.math.ust.hk/~machas/численные методы для инженеров.pdf

Смотрите рекламный ролик:
https://youtu.be/qFJGMBDfFMY

Syllabus

Научные вычисления

На этой неделе мы узнаем, как программировать с помощью MATLAB. Мы узнаем, как вещественные числа представляются с двойной точностью и как выполнять базовую арифметику с помощью MATLAB. Мы узнаем, как использовать скрипты и функции, как представлять векторы и матрицы, как рисовать линейные графики, как использовать логические переменные, условные операторы, циклы for и while. Ваш программный проект будет заключаться в написании кода MATLAB для вычисления диаграммы бифуркации для логистической карты.

Поиск корня

Поиск корня - это численный метод нахождения нулей функции. Мы изучаем метод деления пополам, метод Ньютона и метод секущей. Мы выводим порядок сходимости этих методов. Вычисление фрактала Ньютона демонстрируется с использованием MATLAB, и мы обсуждаем функции MATLAB, которые могут находить корни. Ваш программный проект будет заключаться в написании кода MATLAB с использованием метода Ньютона для вычисления дельты Фейгенбаума из диаграммы бифуркации для логистической карты.

Матричная алгебра

Матричную алгебру, выполняемую на компьютере, часто называют числовой линейной алгеброй. При выполнении исключения по Гауссу ошибки округления могут испортить вычисления и должны обрабатываться с использованием метода частичного поворота, при котором замена строк выполняется перед каждым шагом исключения. Затем алгоритм декомпозиции LU включает матрицы перестановок. Мы вводим количество операций и обучаем обозначению big-Oh для прогнозирования увеличения вычислительного времени при большем размере задачи. Мы покажем, как подсчитывать операции для исключения Гаусса и прямой и обратной подстановки. Объясняется степенной метод вычисления наибольшего собственного значения и связанного с ним собственного вектора матрицы. Наконец, мы покажем, как использовать исключение Гаусса для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений с использованием метода Ньютона. Ваш программный проект будет заключаться в написании кода MATLAB, который применяет метод Ньютона к уравнениям Лоренца.

Квадратура и интерполяция

В первой части этой недели мы узнаем, как вычислить определенный интеграл s - также называемый квадратурой. Мы начнем с изучения основ квадратуры, которые включают элементарные формулы для трапециевидного правила и правила Симпсона, а также с того, как эти формулы можно использовать для разработки составных правил интегрирования. Затем мы узнаем о гауссовой квадратуре и о том, как построить адаптивную квадратурную процедуру, в которой программное обеспечение само определяет соответствующий размер шага интегрирования. Мы завершаем этот раздел изучением того, как использовать функцию MATLAB integral.m. We conclude this section by learning how to use the MATLAB integral.m function. Учитывая выборку значений функций, хорошая процедура интерполяции сможет оценить значения функций в промежуточных точках выборки. Линейная интерполяция широко используется, особенно при построении графиков данных, состоящих из множества точек. Здесь мы разрабатываем более сложный метод интерполяции кубического сплайна, который будет использоваться, если точки выборки более разрежены. Ваш программный проект будет заключаться в написании кода MATLAB для вычисления нулей функции Бесселя. This requires combining both quadrature and root-finding routines.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

На этой неделе мы узнаем о численном интегрировании ode. Самый базовый метод называется методом Эйлера, и это одноступенчатый метод первого порядка. Методы Рунге-Кутты расширяют метод Эйлера до нескольких шагов и более высокого порядка, с тем преимуществом, что могут быть сделаны большие временные шаги. Мы покажем, как построить семейство методов Рунге-Кутты второго порядка, и познакомим вас с широко используемым методом Рунге-Кутты четвертого порядка. Эти методы легко адаптируются для решения систем ОДУ. Мы покажем вам, как использовать функцию MATLAB ode45.m, и как решить оду с двухточечным граничным значением, используя метод съемки. Вашим программным проектом будет численное моделирование гравитационной задачи о двух телах.

Дифференциальные уравнения в частных производных

На этой неделе мы узнаем, как решать дифференциальные уравнения в частных производных. Это обширная тема, и в таких областях исследований, как вычислительная гидродинамика, существует множество специализированных методов решения. Здесь мы лишь даем представление об этом предмете. Мы разделяем численные решения pde на краевые задачи и задачи с начальными значениями и применяем метод конечных разностей для решения. Сначала мы покажем, как решить уравнение Лапласа, краевую задачу. Проиллюстрированы два метода: прямой метод, при котором решение находится путем исключения Гаусса; и итерационный метод, при котором к решению приближаются асимптотически. Во-вторых, мы покажем, как решить одномерное уравнение диффузии, задачу с начальным значением. Выведен метод решения Крэнка-Николсона. Мы также показываем, как использовать анализ устойчивости Фон Неймана для определения стабильности наших схем интегрирования по времени. Заключительным проектом по программированию будет решение двумерного уравнения диффузии с использованием метода Крэнка-Николсона.