Analyse I (partie 5) : Fonctions continues et fonctions dérivables, la fonction dérivée

Nous arrivons au cœur du sujet de notre discussion sur les fonctions : le concept de la dérivabilité d'une fonction. Nous nous intéressons en particulier à la question de la continuité des fonctions dérivées. Nous commençons le chapitre en complétant l'étude sur les fonctions continues par l'étude de leurs propriétés sur des intervalles fermés. Ceci nous permet de définir le maximum et le minimum de fonctions continues. Nous continuons en définissant la méthode de la bissection, et en la démontrant. L'introduction des concepts du maximum et du minimum permet d'introduire certains théorèmes importants, notamment le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème du point fixe. Ces théorèmes sont essentiels dans l'étude des fonctions. Finalement, nous arrivons à la définition de la dérivabilité et de la différentiabilité. Nous donnons quelques interprétations de ces deux définitions ainsi que la démonstration de l'équivalence de ces deux définitions. Ces discussions résultent en la construction de la fonction dérivée. Nous étudions en détail cette fonction en particulier les opérations algébriques sur ces fonctions. Nous continuons notre étude de la dérivabilité des fonctions. Nous présentons les propriétés des fonctions dérivables : la dérivée de composition de fonctions, le théorème de Rolle ainsi que le théorème des accroissements finis. Nous nous intéressons aussi à savoir si la fonction dérivée est continue, nous donnons certains exemples et contre-exemples. Finalement, nous montrons l'intérêt du théorème des accroissements finis qui est une généralisation du théorème de Rolle. Ce théorème est très important étant donnée qu'il a des implications sur la monotonie d'une fonction dérivable.