Analyse I (partie 4) : Limite d'une fonction, fonctions continues

Nous introduisons les fonctions réelles d'une variable réelle. Nous commençons par définir certaines de leurs propriétés, notamment la monotonie, la parité et la périodicité ainsi que les opérations entre fonctions. Nous définissons des fonctions particulières comme les fonctions hyperboliques. Nous continuons notre étude des fonctions, en définissant les fonctions définies par étapes, en particulier les fonctions Signum et Heaviside. Des manipulations importantes en pratique sur les fonctions sont les transformations affines. Nous rentrons finalement dans le cœur du sujet en définissant la limite épointée d'une fonction en un point et donnons des exemples de limites de fonctions. Nous finissons cette discussion par le concept de la limite à gauche et à droite. Dans la suite nous reprenons l'étude de la limite d’une fonctions en commençant par définir les opérations algébriques sur les limites. Nous étudions ensuite les limites infinies de fonctions. Afin de pouvoir calculer les limites de fonctions, nous donnons le théorème des deux gendarmes et nous discutons quelques exemples avec des fonctions algébriques, exponentielles et trigonométriques. Nous reprenons le concept de la limite épointée définie précédemment, en donnant une définition différente mais équivalente. Nous introduisons le concept de la continuité. Nous la définissons de deux manières différentes comme pour les limites de fonctions. Finalement, nous utilisons la continuité pour prolonger certaines fonctions, et nous étudions la continuité sur les intervalles ouverts.