Linear Algebra

Overview

Dive into a comprehensive 20-hour linear algebra course covering essential topics from Jordan normal form to singular value decomposition. Master concepts like eigenvalues, eigenvectors, matrix diagonalization, and linear transformations. Learn practical techniques such as LR decomposition, Gram-Schmidt orthonormalization, and Gaussian elimination. Explore complex numbers, vector spaces, and determinants. Engage with numerous example calculations and proofs to solidify understanding. Benefit from extensive classroom exercises covering a wide range of topics, including complex numbers, linear systems, vector spaces, and advanced matrix decompositions.

Syllabus

Jordan-Normalform Teil 1.
Jordan-Normalform Teil 2.
Jordan-Normalform Teil 3.
Jordan-Normalform Teil 4 (Transformationsmatrix aufstellen).
Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix.
LR-Zerlegung - Beispielrechnung.
Determinantenformel für Blockmatrizen.
Eigenwerte einer Matrix.
Algebraische und geometrische Vielfachheit?.
Matrizen - normal, hermitesch, selbstadjungiert, unitär.
Griechische Buchstaben im Schnellkurs.
Matrix diagonalisierbar?.
Basiswechsel - Transformationsmatrizen - Koordinatenwechsel.
Gram-Schmidt (Gram-Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren).
Gram-Schmidt - Ein Beispiel - (Gram-Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren).
Lineare Abbildungen - Darstellungsmatrizen.
Lineare Gleichungssysteme, überbestimmte und unterbestimmte Systeme.
Komposition von surjektiven Abbildungen ist surjektiv.
Matrix invertieren mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.
Determinante - Entwicklungssatz von Laplace - Beispielrechnung.
Abstand Punkt zu Gerade berechnen.
Unterraum? Beweis oder Gegenbeispiel?.
Lineare Abbildungen - Beweis oder Gegenbeispiel?.
Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bestimmen.
Dimension und Basis von Bild und Kern einer Matrix bestimmen.
Determinanten - Ein Überblick.
Determinanten - Teil1 - Determinante in 2 Dimensionen.
Determinanten - Teil2 - Determinante als Volumenmaß (Leibniz-Formel).
Determinanten - Teil3 - Laplace'sche Entwicklungsformel.
Komplexe Zahlen: Gleichungen lösen - inklusive Beispielrechnung.
Lösungen - Polarkoordinaten, Vektoren in Ebene und Determinanten.
Lösungen - Eigenwerte, Eigenvektoren, hermitesche, unitäre und normale Matrizen.
Lösungen - Diagonalisierbare Matrizen und abstrakte Vektorräume.
Lösungen - LR-Zerlegung, QR-Zerlegung, Darstellungsmatrix und Spektrum.
Hörsaalübung 1 - Lineare Algebra - Komplexe Zahlen, Gleichungssysteme, Eigenwerte, Eigenvektoren.
Hörsaalübung 2 - Lineare Algebra - Vielfachheiten, Diagonalisieren, Vektorräume, Unterräume.
Hörsaalübung 3 - Lineare Algebra - Basiswechsel, Dimension, Lineare Unabhängig, Koordinatenvektor.
Hörsaalübung 4 - Lineare Algebra - Skalarprodukte, Gram-Schmidt, Darstellungsmatrizen, Linearität.
Hörsaalübung 6 - Lineare Algebra - PLR-Zerlegung, QR-Zerlegung, Schurzerlegung, Jordan-Normalform.
Hörsaalübung 7 - Lineare Algebra - Jordan-Normalform, Singulärwertzerlegung und Ausgleichsrechnung.