Линейная алгебра: матрицы и отображения

Novosibirsk State University via Coursera

Go to class Write review

This course may be unavailable.

Details

This course may be unavailable.

Go to class

Provider

Coursera
Pricing

Free Online Course (Audit)
Languages

Russian
Certificate

Paid Certificate Available
Duration & workload

5 weeks
Sessions

Finished
Level

Intermediate
Subtitles

Russian

Found in

Overview

Линейная алгебра — это один из важнейших разделов математики. Методы линейной алгебры широко применяются не только для решения задач геометрии, математического анализа, теории динамических систем, механики сплошных сред, теории представлений, но и в машинном обучении, анализе данных, криптографии. Наш курс «Линейная алгебра: матрицы и отображения» предназначен для студентов физико-математических, технических и естественнонаучных специальностей, при этом он может быть полезен всем, кто изучает экономику, социологию и IT. Этот онлайн-курс дополняет стандартные дисциплины линейной алгебры и аналитической геометрии в вузах. Его цель — расширить ваши знания о векторных пространствах, линейных отображениях, матрицах и квадратичных формах. За время обучения вы, в частности, научитесь находить жорданову форму матрицы линейного оператора и применять её для решения прикладных задач кибернетики и математической физики.
Мы предполагаем, что вы уже владеете базовыми понятиями линейной алгебры и знакомы с основными операциями над матрицами: умеете складывать и умножать матрицы, вычислять определитель квадратной матрицы и находить обратную матрицу.
Во время обучения вы также будете решать практические задачи, в которых используются методы линейной алгебры, и учиться объяснять, почему предложенные алгоритмы на самом деле работают.
Добро пожаловать!

Материалы курса разработаны группой исследователей Математического центра в Академгородке (соглашение с Министерством науки и высшего образования РФ номер 075-15-2019-1675)

Узнать об образовательных программах Новосибирского государственного университета: https://education.nsu.ru/bachelor/

Syllabus

Векторные пространства

В первом модуле вы познакомитесь с векторными пространствами — одним из наиболее важных объектов в нашем курсе. Отталкиваясь от знакомого всем трёхмерного пространства, вы перейдёте к пространствам большей размерности и научитесь представлять четырёхмерное (и даже n-мерное) векторное пространство. Рассмотрев базисы векторных пространств, вы сможете однозначно сопоставлять каждой точке n-мерного пространства упорядоченный набор из n чисел, который называется координатами точки. Используя координаты в выбранном базисе, вы научитесь решать стандартные геометрические задачи (например, находить длину отрезков или угол между прямыми) в пространстве любой размерности.

Линейные отображения

Второй модуль нашего курса посвящён линейным отображениям между векторными пространствами. Вы поймёте, что в некотором смысле линейные отображения и матрицы — это одно и то же, а также научитесь строить по каждому линейному отображению соответствующую ему матрицу и с её помощью находить ядро и образ отображения. Помимо этого, вы изучите два важных класса линейных преобразований: ортогональные преобразования, которые описывают повороты пространства, и симметрические преобразования, которые, как мы увидим далее, описывают растяжения пространства.

Системы линейных уравнений и их приложения

Основная цель третьей недели — изучение теории и практики решения систем линейных алгебраических уравнений. Эта техника лежит в основе решения большинства задач линейной алгебры и геометрии. Вы изучите метод Гаусса, который позволяет определять совместность и находить общее решение для системы из любого числа линейных уравнений с любым числом неизвестных. Вы научитесь определять размерность и находить фундаментальную систему решений однородной системы уравнений, а также применять изученную технику для исследования линейных операторов. В этом же разделе вы познакомитесь с понятиями собственного значения и собственного вектора — они являются важнейшими для линейной алгебры в целом. Вы научитесь находить полный спектр собственных значений линейного оператора и узнаете, как геометрические свойства оператора связаны с его спектром, познакомимся с понятием полупростого оператора и поймёте, почему этот класс операторов играет особенно важную роль в практике применения линейной алгебры в прикладных задачах.

Жорданова форма

Этот раздел целиком посвящён одному из наиболее красивых достижений математики — жордановой классификации линейных операторов на комплексном конечномерном пространстве. Основная область применения такой классификации — решение теоретических задач, связанных с описанием различных классов линейных операторов. Жорданова форма может быть использована для поиска точных решений в ряде практических задач. Например, вы узнаете, как вывести общую формулу для членов знаменитой последовательности чисел Фибоначчи и что нужно делать для анализа произвольной линейной рекуррентной последовательности любого порядка, как находить точное решение произвольной системы линейных дифференциальных уравнений.

Симметрические и ортогональные линейные операторы

В заключительном модуле нашего курса вы изучите строение и канонический вид матриц линейных операторов относительно ортонормированного базиса евклидова пространства. Вы познакомитесь с разложением Шура — полезным инструментом для решения вычислительных задач. Вы рассмотрите два важных класса линейных операторов, действие которых согласовано со скалярным произведением на евклидовом пространстве, — симметрические и ортогональные операторы. Вы изучите канонический вид, к которому приводятся симметрические и ортогональные матриц, поймёте, как устроены преобразования движения. Вы научитесь раскладывать любой линейный оператор в композицию движения и растяжения, а также находить сингулярное разложение для матриц. Также вы узнаете, как решать задачи приведения квадратичных форм к каноническому виду и их приложения к задачам исследования функций многих переменных и задачам оптимизации.